a) Với \(m=0\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}0x+4y=10-0\\x+0y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận trường hợp này).

Với \(m\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\-mx-m^2y=-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4-m^2\right)y=10-5m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Biện luận:

Với \(m=2\) \(\left(1\right)\Rightarrow0y=0\) (phương trình vô số nghiệm),

Với \(m=-2\Rightarrow0y=20\) (phương trình vô nghiệm).

Với \(m\ne\pm2\Rightarrow y=\dfrac{10-5m}{4-m^2}=\dfrac{5\left(2-m\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}=\dfrac{5}{m+2}\)

Vì \(y>0\Rightarrow\dfrac{5}{m+2}>0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2\)

Thay \(y=\dfrac{5}{m+2}\) vào (2) ta được:

\(x+\dfrac{5m}{m+2}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{8-m}{m+2}\)

Vì x>0 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}8-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}8-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow-2< m< 8\)

Vì m là số nguyên và \(m\ne2\) nên \(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất sao cho \(x>0,y>0\).

b) Với \(m=0\) ta có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(4;\dfrac{5}{2}\right)\) (loại).

Với \(m=2\). Ta có hệ vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì y là số nguyên dương nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\2-\dfrac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\x< 4\end{matrix}\right.\). Mặt khác x>0.

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)
Với \(m\ne\pm2\). Ta có \(y=\dfrac{5}{m+2}\).

Vì x,y là các số nguyên dương nên x,y>0. Nên:

\(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) (1')

Mặt khác: \(5⋮\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow m+2\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\) (2')

Từ (1') ,(2') \(\Rightarrow m\in\left\{-1;3\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{-1;2;3\right\}\) thì hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với x,y là số nguyên dương.

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=2m\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=2m-mx\\x+m\left(2m-mx\right)=m+1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) ⇔x+2m²-m²x=m+1

⇔x(1-m²)=m+1-2m²

TH1: 1-m²=0

⇔m=\(\pm\)1

-Thay m= 1 vào (2) ta có: 0x =0 (luôn đúng)

⇒m=1(chọn)

-Thay m=-1 và (2) ta có: 0x=-2 (vô lí)

⇒m=-1(loại)

TH2: 1-m² ≠ 0

⇔m ≠ \(\pm\) 1

⇒HPT có nghiệm duy nhất: 

x= \(\dfrac{-2m^2+m+1}{1-m^2}\)

y= \(2m-m.\dfrac{-2m^2+m+1}{1-m^2}\)

⇔y= \(2m+\dfrac{-2m^3-m^2-m}{1-m^2}\)

a: Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\2x+y=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=x-1=\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2}\ne-\dfrac{1}{m}\)

=>\(m^2\ne-2\)(luôn đúng)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=1\\2x+my=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-1\\2x+m\left(mx-1\right)=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-1\\x\left(m^2+2\right)=m+4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{m\left(m+4\right)}{m^2+2}-1=\dfrac{m^2+4m-m^2-2}{m^2+2}=\dfrac{4m-2}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)

x+y=2

=>\(\dfrac{m+4+4m-2}{m^2+2}=2\)

=>\(2m^2+4=5m+2\)

=>\(2m^2-5m+2=0\)

=>(2m-1)(m-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m-1=0\\m-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)

a, \(\left\{{}\begin{matrix}m^2x-my=2m\\x+my=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x=2m+1\\y=\dfrac{1-x}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\y=\dfrac{1-\dfrac{2m+1}{m^2+1}}{m}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\y=\dfrac{\dfrac{m^2+1-2m-1}{m^2+1}}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2+1}\\y=\dfrac{\dfrac{m^2-2m}{m^2+1}}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m^2}\\y=\dfrac{m^2-2m}{m^2+1}:m=\dfrac{m\left(m-2\right)}{m\left(m^2+1\right)}=\dfrac{m-2}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

b, Để hpt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{m}{1}\ne-\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m^2\ne-1\left(luondung\right)\)

\(\dfrac{2m+1}{m^2}+\dfrac{m-2}{m^2+1}=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\left(m^2+1\right)+m^2\left(m-2\right)=-m^2\left(m^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2m^3+2m+m^2+1+m^3-2m^2=-m^4-m^2\)

\(\Leftrightarrow3m^3-m^2+2m+1=-m^4-m^2\)

\(\Leftrightarrow m^4+3m^3+2m+1=0\)

bạn tự giải nhé 

a. Bạn tự giải

b. Thế cặp nghiệm x=-1, y=3 vào hệ ban đầu ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+3m=9\\-m-9=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=10\\-m=13\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn

c. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=9m\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+3\right)y=9m-4\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{9m-4}{m^2+3}\\x=\dfrac{4m+27}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m thì hệ luôn có nghiệm duy nhất như trên

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)

=>\(m^2\ne1\)

=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)

=>m<-1

Hệ đẫ cho có nghiệm duy nhất khi \(m\ne-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m\left(1+y\right)+y=m\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m+my+y=m\end{matrix}\right.\)   \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y\left(m+1\right)=0\end{matrix}\right.\) (*)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) m + 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) -1

Khi đó: (*) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y=\dfrac{0}{m+1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+0=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy m \(\ne\) -1 thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

Chúc bn học tốt!

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2m}\ne\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{3}\)(luôn đúng)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=5\\2mx+3y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2mx+2y=10\\2mx+3y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=4\\mx+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\mx=5-y=5-\left(-4\right)=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\x=\dfrac{9}{m}\end{matrix}\right.\)

\(\left(2m-1\right)\cdot x+\left(m+1\right)\cdot y=m\)

=>\(\dfrac{9}{m}\left(2m-1\right)+\left(m+1\right)\cdot\left(-4\right)=m\)

=>\(\dfrac{9\left(2m-1\right)}{m}=m+4m+4=5m+4\)

=>m(5m+4)=18m-9

=>\(5m^2-14m+9=0\)

=>(m-1)(5m-9)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{9}{5}\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

- Với \(m=0\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}0x+y=3.0-1\\x+0y=0+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m=0\) hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

- Với \(m\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2x-my=-3m^2+m\\x+my=m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)x=-3m^2+2m+1\left(1\right)\)

- Với \(m=1\). Thế vào (1) ta được:

\(0x=0\) (phương trình vô số nghiệm).

\(\left(2\right)\Rightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\)

- Vậy với \(m=1\) thì hệ đã cho có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-x\end{matrix}\right.\)

Với \(m=-1\). Thế vào (1) ta được:

\(0x=-4\) (phương trình vô nghiệm)

Vậy với \(m=-1\) thì hệ đã cho vô nghiệm

Với \(m\ne\pm1,0\).

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+2m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+3m-m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m\left(1-m\right)+\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(1-m\right)\left(3m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m+1}\)

Thay vào (2) ta được:

\(\dfrac{3m+1}{m+1}+my=m+1\)

\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=m^2+2m+1\)

\(\Leftrightarrow my\left(m+1\right)=m^2-m\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(m-1\right)}{m\left(m+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m-1}{m+1}\)

Vậy với \(m\ne\pm1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3m+1}{m+1};\dfrac{m-1}{m+1}\right)\).

Bài 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\left(2\right)\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+4\left(m+1\right)y=-4\\4x-y=-2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\left(m+1\right)y-y=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(4m+3\right)y=-6\)

\(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{4m+3}\)

Để y nguyên thì:

\(6⋮\left(4m+3\right)\)

\(\Rightarrow\left(4m+3\right)\inƯ\left(6\right)\)

\(\Rightarrow4m+3\in\left\{1;2;3;6;-1;-2;-3;-6\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;-1\right\}\)

Với \(m=0\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.0+3}=-2\)

Thay vào (1) ta được:

\(4x-\left(-2\right)=-2\Leftrightarrow x=-1\)

Thử lại \(x=-1;y=-2\) cho (2) ta thấy phương trình nghiệm đúng.

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.

Với \(m=-1\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.\left(-1\right)+3}=6\)

Thay \(y=6\) vào (2) ta được:

\(4x-6=-2\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Thử lại \(x=1;y=6\) cho (2) ta thấy pt nghiệm đúng.

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;6\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.